空间解析几何速成 • Profile

将空间问题抽象为代数问题

向量与坐标#

定义:

[\bar a \bar b \bar c] = ( \bar a \times \bar b) \cdot \bar c

几何意义:

[\bar a \bar b \bar c] = \text{平行六面体的体积}

重要恒等式:

\bar a \times (\bar b \times \bar c) = (\bar a \cdot \bar c) \bar b - (\bar a \cdot \bar b) \bar c

$\pi_1 : 过 M_1, 由 \bar v_1, \bar v_1 \times \bar v_2 张成的平面$
$\pi_2 : 过 M_2, 由 \bar v_2, \bar v_1 \times \bar v_2 张成的平面$
公垂线即为两平面的交线

记 $\bar {s_1 s_2} 为公垂线的方向向量$

h = M_1 M_2 \cdot \frac{\bar {s_1 s_2}}{|\bar {s_1 s_2}|}

设母线上任意一点 $M = (x_0, y_0, z_0)$
转一圈 (纬圆)
- 垂直于轴: $(x, y, z)$ 在过 $M$ 且垂直于轴的平面上
- 在圆上: $(x,y,z)到轴上一点 N 的距离与 (x_0, y_0, z_0)相同$
消元: 通过母线方程只留下一个变元

将二次曲面方程分解为

f_1(x,y) \times f_2(x,y) = g_1(z) \times g_2(z)

则二次曲面的两个直母线族分别为

\begin{cases} f_1(x,y) = u \cdot g_1(z) \\ u \cdot f_2(x,y) = g_2(z) \end{cases} 和 \begin{cases} f_1(x,y) = u \cdot g_2(z) \\ u \cdot f_2(x,y) = g_1(z) \end{cases}

F(x, y) = a_{11}x^2 + 2a_{12}xy + a_{22}y^2 + 2a_{13}x + 2a_{23}y + a_{33} = 0

F_1(x, y) = a_{11}x + a_{12}y + a_{13}

F_2(x, y) = a_{12}x + a_{22}y + a_{23}

F_3(x, y) = a_{13}x + a_{23}y + a_{33}

\phi(x, y) = a_{11}x^2 + 2a_{12}xy + a_{22}y^2

设直线方程为

x = x_0 + Xt, \quad y = y_0 + Yt

代入二次曲线方程，得到关于 $t$ 的二次方程

(a_{11}X^2 + 2a_{12}XY + a_{22}Y^2)t^2 + 2[F_1(x_0, y_0)X + F_2(x_0, y_0)Y]t + F(x_0, y_0) = 0

直径: 二次曲线一族平行弦的中点轨迹
共轭弦: 直径对应的平行弦
直径方程: 若二次曲线的一族平行弦的斜率为 $k$ ，则直径方程为 $F_1(x, y) + kF_2(x, y) = 0 \quad 或写作 \quad XF_1(x, y) + YF_2(x, y) = 0$

主方向: 即 $\left( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22} \end{matrix} \right)$ 的特征向量
主直径: 二次曲线的主方向对应的直径