数学分析 二 速通

在现实生活中, 只有单一变元的情况终究少数, 各个变量之间错综复杂才是常态

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不定积分#

需要背诵的不定积分表#

$$\begin{align*} (1) & \quad \int x^a \, dx = \frac{x^{a+1}}{a+1} + C \quad (a \neq -1) \\ (2) & \quad \int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x| + C \\ (3) & \quad \int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \\ (4) & \quad \int \sin x \, dx = -\cos x + C \\ (5) & \quad \int \cos x \, dx = \sin x + C \\ (6) & \quad \int \tan x \, dx = -\ln |\cos x| + C \\ (7) & \quad \int \cot x \, dx = \ln |\sin x| + C \\ *(8) & \quad \int \sec x \, dx = \ln |\sec x + \tan x| + C \\ *(9) & \quad \int \csc x \, dx = \ln |\csc x - \cot x| + C \\ (10) & \quad \int \sec^2 x \, dx = \tan x + C \\ (11) & \quad \int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C \\ (12) & \quad \int \frac{dx}{1+x^2} = \arctan x + C \\ (13) & \quad \int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + C \\ *(14) & \quad \int \frac{dx}{x^2 - a^2} = \frac{1}{2a} \ln \left| \frac{a-x}{a+x} \right| + C \\ *(15) & \quad \int \frac{dx}{a^2 - x^2} = \frac{1}{2a} \ln \left| \frac{a+x}{a-x} \right| + C \\ (16) & \quad \int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin x + C \\ (17) & \quad \int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \arcsin \frac{x}{a} + C \\ *(18) & \quad \int \frac{dx}{\sqrt{x^2 \pm a^2}} = \ln |x + \sqrt{x^2 \pm a^2}| + C \\ \end{align*}$$

不定积分的基本方式#

• 第一类换元法 (凑微分法)

$$\begin{align*} (1) & \quad \int x^2 \cdot \sqrt{x^3 + 1} \, dx \\ (2) & \quad \int \frac{1}{e^x + 1} \, dx \\ (3) & \quad \int \tan^3 x \, dx \\ (4) & \quad \int \frac{1}{\sin^2 x + 2 \cos^2 x} \, dx \\ \end{align*}$$

• 第二类换元法 (变量代换法)

$$\begin{align*} (1) & \quad \int \frac{1}{(1 - x) \cdot \sqrt{1 - x^2}} \, dx \\ (2) & \quad \int \frac{1}{x^2 \sqrt{x^2 + 1}} \, dx \\ (3) & \quad \int \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt[3]{x}} \, dx \end{align*}$$

• 分部积分法 (两类不同函数相乘)

基本公式: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$

$$\begin{align*} (1) & \quad \int x^2 e^x \, dx \\ (2) & \quad \int x^2 \cos x \, dx \\ (3) & \quad \int e^{2x} \cos x \, dx \end{align*}$$

“反对幂三指”, 越靠后的函数积分越容易凑到微分上, 越容易积分

• 分式的不定积分

  1. 分母可因式分解: 裂项法
  2. 分母不可因式分解, 分子零次: 配方法
  3. 分母不可因式分解, 分子一次: 将分子凑成分母的导数
  4. 分式为三角函数: 万能公式代换

技巧: 对于分母为多项式的, 尝试将分母化为单项式

定积分#

利用定积分求数列极限#

$$\text{将和式转为}\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{n} \cdot f\left(\frac{i}{n}\right) = \int_{0}^{1} f(x) \, dx$$

$$(1) \quad \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{n}{n^2+i^2}$$

变上限的定积分求导#

$$\frac{d}{dx}\int_{a}^{f(x)} g(t) \, dt = g(f(x)) \cdot f'(x)$$

更一般的情况：

$$\frac{d}{dx}\int_{u(x)}^{v(x)} g(t) \, dt = g(v(x)) \cdot v'(x) - g(u(x)) \cdot u'(x)$$

华里氏公式#

$$\begin{align*} & \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x \, dx = \frac{(n-1)!!}{n!!} \cdot \frac{\pi}{2} \quad (n \text{ 为偶数}) \\ & \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x \, dx = \frac{(n-1)!!}{n!!} \cdot 1 \quad (n \text{ 为奇数}) \\ \end{align*}$$

定积分换元#

$$\int_{g(t_1)}^{g(t_2)} f(x) \, dx = \int_{t_1}^{t_2} f(g(t)) \, dg(t)$$

定积分的求解#

1. 利用奇偶性简化式子
2. 如果是两类不同积分相乘 or 存在变限积分, 尝试分部积分法
3. 如果是分式, 尝试裂项法或配方法

定积分的应用#

• 计算图形的面积

  1. 尝试以 $x$ 或 $y$ 为自变量, 计算图形的面积
  2. 尝试以 $\theta$ 为自变量, 计算图形的面积

     $$S = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \frac{1}{2} r^2 \, d\theta$$

• 计算弧长

  1. $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + y'^2} \, dx$，其中 $l$ 的方程为直角坐标方程 $y = y(x)$，$a \leq x \leq b$
  2. $L = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{x'^2 + y'^2} \, dx$，其中 $L$ 为参数方程 $\begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \end{cases}$ $\alpha \leq t \leq \beta$
  3. $L = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{r^2(\theta) + r'(\theta)^2} \, d\theta$，其中 $l$ 为极坐标方程：$r = r(\theta)$，$\alpha \leq \theta \leq \beta$

• 求旋转体的侧面积

  4. $S_{\text{侧}} = \int_{a}^{b} 2\pi y(x) \sqrt{1 + y'^2} \, dx$
  5. $S_{\text{侧}} = \int_{\alpha}^{\beta} 2\pi y(t) \sqrt{x'^2 + y'^2} \, dt$，其中曲线为参数方程 $\begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \end{cases}$ $\alpha \leq t \leq \beta$
  6. $S_{\text{侧}} = \int_{\alpha}^{\beta} 2\pi r(\theta) \cdot \cos(\theta) \sqrt{r^2(\theta) + r'(\theta)^2} \, d\theta$，其中曲线为极坐标方程 $r = r(\theta)$

多元函数的微分学#

多元函数求极限#

0. 判断极限是否存在 (从不同路径趋近一下)
1. 直接代入法
2. 利用恒等变形
3. 整体代换 + 洛必达
4. 无穷小替换
5. 使用极坐标进行代换

$$\begin{align*} (1) & \quad \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{2 - \sqrt{xy+4}}{xy} \\ (2) & \quad \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2y}{x^4 + y^2} \\ (3) & \quad \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^3y}{x^4 + y^4} \\ \end{align*}$$

多元隐函数求偏导数#

左右同时对对应未定元求偏导数

多元函数求极值#

1. 求驻点
2. 利用二阶偏导数判别法

判别式：

$$D = \begin{vmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{vmatrix} = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^2$$

$D$ 为正且 $f_{xx} > 0$ 时为极小值点；$D$ 为正且 $f_{xx} < 0$ 时为极大值点；$D$ 为负时为鞍点；$D = 0$ 时无法判别。

多元函数在约束条件下求极值#

令约束条件为 $\phi(x,y) = 0$，所求极值为 $f(x,y)$，则只需求函数 $g(x,y, \lambda) = f(x,y) + \lambda \cdot \phi(x,y)$ 的驻点

二重积分的计算#

$$\iint_D f(x,y) \, dx \, dy$$

0. 画出积分区域 $D$ 的草图

非圆周相关区域下二重积分的计算#

1. 定 $x$ 穿 $y$ 或定 $y$ 穿 $x$ , 转换为分步 两次定积分

$$\begin{align*} (1) & \quad \iint_D f(x,y) \, dx \, dy = \int_{a}^{b} \left( \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y) \, dy \right) dx \\ (2) & \quad \iint_D f(x,y) \, dx \, dy = \int_{c}^{d} \left( \int_{h_1(y)}^{h_2(y)} f(x,y) \, dx \right) dy \end{align*}$$

利用三角换元求解二重积分#

令 $\begin{cases} x = r \cos \theta \\ y = r \sin \theta \end{cases}$从而 $dx \, dy = r \, dr \, d\theta$, 其中系数由几何意义求出

三重积分的计算#

$$\iiint_{\Omega} f(x,y,z) \, dx \, dy \, dz$$

0. 画出积分区域 $\Omega$ 的草图

利用投影法 (“先一后二”) 求二重积分#

定 $xy$ 穿 $z$，转为对二重积分进行积分

利用平面截割法 (“先二后一”) 求三重积分#

定 $z$ 穿 $xy$，转为对三重积分进行积分

利用三角换元求三重积分#

• 令 $\begin{cases} x = r \sin \phi \cos \theta \\ y = r \sin \phi \sin \theta \\ z = r \cos \phi \end{cases}$, 则 $dx \, dy \, dz = r^2 \sin \phi \, dr \, d\phi \, d\theta$

曲线积分#

0. 画出曲线的草图

对弧长曲线积分 (第一类曲线积分) 的计算#

$$\int_L f(x,y) \, ds$$

1. 转为常规积分

   $$\begin{align*} ds &= \sqrt{1 + y'(x)^2} \, dx \\ ds &= \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2} \, dt \end{align*}$$

2. 代入, 转换为单变量积分

对坐标的曲线积分 (第二类曲线积分) 的计算#

$$\int_L P \, dx + Q \, dy$$

即在对应投影平面上的积分

1. 若 $L$ 为直角坐标方程 $y = y(x)$，则

   $$\int_L P \, dx + Q \, dy = \int_{a}^{b} P(x,y(x)) \, dx + Q(x,y(x)) \cdot y'(x) \, dx$$

2. 若 $L$ 为参数方程

   $$\int_L P \, dx + Q \, dy = \int_{\alpha}^{\beta} P(x(t),y(t)) \cdot x'(t)\, dt + Q(x(t),y(t)) \cdot y'(t) \, dt$$

格林公式#

使用场景: 曲线为简单闭合曲线

$$\oint_L P \, dx + Q \, dy = \pm \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dx \, dy$$

其中 $D$ 为 $L$ 所围成的区域

一般来说, 逆时针方向为正, 顺时针方向为负

曲面积分#

对面积的曲面积分 (第一类曲面积分) 的计算#

$$\iint_S f(x,y,z) \, dS$$

1. 转为常规积分

   $$dS = \sqrt{1 + \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)^2 + \left( \frac{\partial z}{\partial y} \right)^2} \, dx \, dy$$

2. 代入, 转换为双变量积分

对坐标的曲面积分 (第二类曲面积分) 的计算#

$$\iint_{\sum} P \, dx + Q \, dy + R \, dz$$

$$\iint_{\sum}R(x,y,z) \, dx \, dy = \pm \iint_{D_{xy}} R(x,y,z(x,y)) ,dx \, dy$$

坐标轴正方向 (前, 上, 右) 为正方向, 负方向 (后, 下, 左) 为负方向

高斯公式#

使用场景: 曲面为简单闭合曲面

$$\oiint_{\sum} P \, dx\, dy + Q \, dy \, dz + R \, dz \, dx = \pm \iiint_{\Omega} \left( \frac{\partial R}{\partial y} + \frac{\partial Q}{\partial x} + \frac{\partial P}{\partial z} \right) \, dx \, dy \, dz$$

其中 $\Omega$ 为 $\sum$ 所围成的区域

外侧为正, 内侧为负

期末考点#

定积分#

• 黎曼积分定义

  设 $f(x)$ 是定义在 $[a,b]$ 上的有界函数，在 $[a,b]$ 上任意取分点 $\{x_i\}_{i=0}^n$，作成一种划分

  $$P: a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n = b$$

  并任意取点 $\xi_i \in [x_{i-1}, x_i]$。记小区间 $[x_{i-1}, x_i]$ 的长度为 $\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$，并令 $\lambda = \max_{1 \leq i \leq n}(\Delta x_i)$，若当 $\lambda \to 0$ 时，极限

  $$\lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i$$

  存在，且极限值既与划分 $P$ 无关，又与对 $\xi_i$ 的取法无关，则称 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上 Riemann 可积，和式

  $$S_n = \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i$$

  称为 Riemann 和，其极限值 $I$ 称为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的定积分，记为

  $$I = \int_a^b f(x) \, dx$$

  这里 $a$ 和 $b$ 分别被称为积分的下限和上限。

• 可积条件

有界函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上积分的充分必要条件是，对于任意分割 $P$，当 $\lambda = \max(\Delta x_i) \to 0$ 时，Darboux 大和与 Darboux 小和的极限相等，即成立

$$\lim_{\lambda \to 0} \overline{S}(P) = L = l = \lim_{\lambda \to 0} \underline{S}(P)$$

• 积分线函数

  见 定积分的应用

• 黎曼求和

  见 利用定积分求数列极限

• 定积分的计算技巧

  见定积分的求解, 华里氏公式

• 反常积分的敛散性判定

  放缩, 计算其定积分即可

多元函数微分学#

• 可微的判定

  设函数 $z = f(x, y)$ 在 $(x_0, y_0)$ 点的某个邻域上存在偏导数，并且偏导数在 $(x_0, y_0)$ 点连续，那么 $f$ 在 $(x_0, y_0)$ 点可微。

• 混合偏导相等判定

  如果函数 $z = f(x, y)$ 的两个混合偏导数 $f_{xy}$ 和 $f_{yx}$ 在点 $(x_0, y_0)$ 连续，那么等式

  $$f_{xy}(x_0, y_0) = f_{yx}(x_0, y_0)$$

  成立。

• Taylor 展开

  定理 12.3.3（Taylor 公式） 设函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 的邻域 $U = O((x_0, y_0), r)$ 上具有 $k+1$ 阶连续偏导数，那么对于 $U$ 内每一点 $(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y)$ 都成立

  $$\begin{align} f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) &= f(x_0, y_0) + \left( \Delta x \frac{\partial}{\partial x} + \Delta y \frac{\partial}{\partial y} \right) f(x_0, y_0) + \\ &\quad \frac{1}{2!} \left( \Delta x \frac{\partial}{\partial x} + \Delta y \frac{\partial}{\partial y} \right)^2 f(x_0, y_0) + \cdots + \\ &\quad \frac{1}{k!} \left( \Delta x \frac{\partial}{\partial x} + \Delta y \frac{\partial}{\partial y} \right)^k f(x_0, y_0) + R_k \end{align}$$

  其中 $R_k = \frac{1}{(k+1)!} \left( \Delta x \frac{\partial}{\partial x} + \Delta y \frac{\partial}{\partial y} \right)^{k+1} f(x_0 + \theta \Delta x, y_0 + \theta \Delta y)$，$(0 < \theta < 1)$ 称为 Lagrange 余项。

• 无条件极值

  见 多元函数求极值

• 条件极值

  见 多元函数在约束条件下求极值

多元函数积分学#

• 二重积分的计算

  见 二重积分的计算

• 三重积分的计算

  见 三重积分的计算

• 曲线积分

  见 曲线积分

• 曲面积分

  见 曲面积分

• 积分与路径无关

  设 $D$ 为平面上的单连通区域，$P(x,y)$，$Q(x,y)$ 在 $D$ 上具有连续偏导数，则下面的四个命题等价：

  1. 对于 $D$ 内的任意一条光滑（或分段光滑）闭曲线 $L$， $\oint_L P\,dx + Q\,dy = 0;$

  2. 曲线积分 $\int_L P\,dx + Q\,dy$ 与路径无关；

  3. 存在 $D$ 上的可微函数 $U(x,y)$，使得 $dU = P\,dx + Q\,dy,$ 即 $P\,dx + Q\,dy$ 为 $U(x,y)$ 的全微分，这时称 $U(x,y)$ 为1-形式 $P\,dx + Q\,dy$ 的原函数；

  4. 在 $D$ 内成立等式 $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}.$