Calculus III • Profile

常数项级数#

求和方法#

几何级数
错项级数

判断敛散性#

比较判别法 (与几何级数, p 级数比较)
- 不等式比较
- 极限比较 & 泰勒展开

对于正项级数, 若 $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = C$ , 其中 $C$ 为正常数, 则级数 $\sum a_n$ 与 $\sum b_n$ 同敛散.

比值判别法 / 达朗贝尔判别法 (当通项中含有 $n!, a^n$ 时适合使用) 设 $\sum a_n$ 为正项级数, 若 $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = L$ , 则当 $L<1$ 时级数收敛, 当 $L>1$ 时级数发散, 当 $L=1$ 时, 判别失败.
根值判别法 / 柯西判别法 (当通项中含有 $n^{n}, a^n$ 时适合使用) 设 $\sum a_n$ 为正项级数, 若 $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = L$ , 则当 $L<1$ 时级数收敛, 当 $L>1$ 时级数发散, 当 $L=1$ 时, 判别失败.
*拉贝判别法设 $\sum a_n$ 为正项级数, $\lim_{n \to \infty} n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} - 1 \right) = L$ , 则当 $L>1$ 时级数收敛, 当 $L<1$ 时级数发散, 当 $L=1$ 时, 判别失败.
交错级数判别法 / 莱布尼兹判别法设交错级数 $\sum (-1)^{n} a_n$ 满足: (1) $a_{n+1} \leq a_n$ ; (2) $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$ , 则该级数收敛.
积分判别法设 $f(x)$ 在 $[1, \infty)$ 上连续, 且单调递减, 且 $f(n) = a_n$ , 则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 与反常积分 $\int_{1}^{\infty} f(x) \, dx$ 同敛散.

Tips:
$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} a_n = (a_1 - a_2) + (a_3 - a_4) + \cdots > 0 \\ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} a_n = a_1 - (a_2 - a_3) - (a_4 - a_5) - \cdots < a_1$

*阿贝尔变换设数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $A_n = \sum_{k=1}^{n} a_k$ , 则有
$\sum_{k=1}^{n} a_k b_k = A_n b_n + \sum_{k=1}^{n-1} A_k (b_k - b_{k+1})$
积分形式:
$\int_{a}^{b} f(x) g(x) \, dx = \left. F(x) g(x) \right|_{a}^{b} - \int_{a}^{b} F(x) d g(x)$

阿贝尔判别法设级数 $\sum a_n b_n$ 满足:
- 数列 $\{a_n\}$ 单调有界;
- 数列部分和 $S_n = \sum_{k=1}^{n} b_k$ 收敛, 则级数 $\sum a_n b_n$ 收敛.
狄利克雷判别法设级数 $\sum a_n b_n$ 满足:
- 数列 $\{a_n\}$ 收敛于 0 且单调;
- 数列部分和 $S_n = \sum_{k=1}^{n} b_k$ 有界, 则级数 $\sum a_n b_n$ 收敛.

绝对收敛与条件收敛#

绝对收敛: 若级数 $\sum a_n$ 满足级数 $\sum |a_n|$ 收敛, 则称级数 $\sum a_n$ 绝对收敛.
条件收敛: 若级数 $\sum a_n$ 收敛, 但级数 $\sum |a_n|$ 发散, 则称级数 $\sum a_n$ 条件收敛.
*交换项定理: 绝对收敛的级数, 任意交换其项次序后, 级数仍收敛, 且和不变. 而条件收敛的级数, 通过交换项次序, 可以使级数收敛到任意值, 甚至发散.

函数项级数#

一致收敛#

证明函数数列不一致收敛
- 使用定义判别
  $\sup_x|S_n(x) - S(x)| < \varepsilon$
- 统一变量
  $\exist \{x_n\} \in D, \text{ 使得 } \lim_{n \to \infty } |S_n(x_n) - S(x_n)| \ge \varepsilon_0$
证明函数项一致收敛
- Cauchy 收敛原理
  
  $\forall \varepsilon > 0, \exist N, \text{ 当 } m,n > N, \text{ 对 } \forall x \in D, |S_n(x) - S_m(x)| < \varepsilon$
- Weierstrass 判别法
  
  若存在正项级数 $\sum a_n$ 收敛, 且对 $\forall x \in D$ , 有 $|u_n(x)| \le a_n$ , 则函数项级数 $\sum u_n(x)$ 在 $D$ 上一致收敛.
- 阿贝尔判别法
  
  设函数项级数 $\sum u_n(x) v_n(x)$ 满足: (1) ${u_n(x)}$ 在 $D$ 上单调且有界; (2) 函数项级数 $\sum v_n(x)$ 在 $D$ 上一致收敛, 则函数项级数 $\sum u_n(x) v_n(x)$ 在 $D$ 上一致收敛.
- 狄利克雷判别法
  
  设函数项级数 $\sum u_n(x) v_n(x)$ 满足: (1) $\{u_n(x)\}$ 在 $D$ 上单调且收敛于 0; (2) 函数项级数 $\sum v_n(x)$ 在 $D$ 上一致有界, 则函数项级数 $\sum u_n(x) v_n(x)$ 在 $D$ 上一致收敛.
- Dini 判别法
  设函数项级数 $\sum S_n(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上逐点收敛于函数 $S(x)$ , 且
  - $S(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续;
  - 对 $\forall n$ , $u_n(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续;
  - $|S_n(x)|$ 关于 $n$ 单调
    则 $|S_n(x)|$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛于 $S(x)$ .
- Levi 判别法
  
  如果函数项级数的每一项都在积分区间上非负，那么积分与求和可以交换顺序。即： $\int \sum u_n(x) dx = \sum \int u_n(x) dx$ 无论结果是收敛到一个有限数还是发散到 $+\infty$ ，等式都成立。
一致收敛的性质

判断幂级数敛散性#

阿贝尔定理
- 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n$ 在 $x=x_0$ 处收敛, 则当 $|x|<|x_0|$ 时, 级数绝对收敛.
- 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n$ 在 $x=x_0$ 处发散, 则当 $|x|>|x_0|$ 时, 级数发散.
  
  Tips: $\sum_{n=1}^{\infty} a_n x_0^n \text{ 收敛 } \Rightarrow \lim_{n \to \infty} a_n x_0^n = 0 \Rightarrow |a_n x_0^n| \le M \\ \Rightarrow | a_n | \le \frac{M}{|x_0|^n} \Rightarrow |a_n x^n| \le M \left| \frac{x}{x_0} \right|^n \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} |a_n x^n| \text{ 收敛 }$

条件收敛#

条件收敛点只可能在收敛区间的端点

收敛半径的求解#

不等式法利用判别收敛性的比值法或根值法, 求出收敛区间的范围, 进而得到收敛半径.

幂级数 -> 和函数#

求解收敛域
在收敛域内对幂级数逐项积分或逐项微分, 从而将和函数表示为初等函数的形式 (等比, 指数的展开式)
求解出和函数表达式

和函数 -> 幂级数#

将和函数通过积分或微分转化为易于展开的函数
将转化后的函数展开为幂级数
通过积分或微分将幂级数转化为原函数的幂级数