高等代数 二 速通

线性变换五花八门的性质

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线性映射#

线性映射: 线性空间之间保持线性运算的映射

线性映射的矩阵表示#

给定 $V_1$ 的基 $\{\alpha_1, \ldots, \alpha_n\}$ 和 $V_2$ 的基 $\{\beta_1, \ldots, \beta_m\}$

$$(\mathcal{A}\alpha_1, \mathcal{A}\alpha_2, \ldots, \mathcal{A}\alpha_n) = (\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_m) \cdot A$$

即 $\mathcal{A}(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n) = (\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_m) \cdot A$
则将 $A$ 称为线性映射 $\mathcal{A}$ 在基 $\{\alpha_1, \ldots, \alpha_n\}$ 和 $\{\beta_1, \ldots, \beta_m\}$ 下的表示矩阵

线性映射的核空间, 像空间#

$$\begin{align} Im(\mathcal{A}) &= \{\mathcal{A}(\alpha) | \alpha \in V_1\} \\ Ker(\mathcal{A}) &= \{\alpha \in V_1 | \mathcal{A}(\alpha) = 0\} \end{align}$$

线性同构#

$$\text{线性同构} \Leftrightarrow \text{线性映射既是单射又是满射}$$

线性变换#

线性变换: 在同一线性空间上的线性映射

特征值与特征向量#

特征值的求解#

求解关于 $\lambda$ 方程

$$\det(\lambda I - A) = 0$$

特征向量的求解#

求解关于 $\alpha$ 方程

$$(\lambda_0 I - A)\alpha = 0$$

特征多项式#

特征多项式: $\det(\lambda I - A)$

相似对角化#

记 $A$ 的特征值为 $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$，对应的一组线性无关的特征向量为 $\alpha_1, \ldots, \alpha_n$，则令 $P = (\alpha_1, \ldots, \alpha_n)$

$$AP = P\begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n \end{pmatrix}$$

不变子空间#

$$V \text{是} \mathcal{A} \text{的不变子空间} \Leftrightarrow \forall v \in V, \mathcal{A}(v) \in V \Leftrightarrow V \text{是} \mathcal{A} -子空间$$

对偶空间#

• 对偶空间 $$\{\phi | \phi: V \to \mathbb{F}, \phi \text{是线性映射}\}$$
• 对偶基 $$\{\phi_1, \ldots, \phi_n\} \text{是} V \text{的对偶基} \Leftrightarrow \phi_i(\alpha_j) = \delta_{ij}$$
• 二重对偶 将 $V_*$ 的元素视作一个新了列向量空间, 再应用一次对偶空间的定义

最小多项式#

• 零化多项式 $$f(\lambda) \text{使得} f(A) = \mathcal{O}$$
• 最小多项式
  次数最小的首一零化多项式, 与特征多项式有着相同的根(重数不一定相同)
  • 重数的计算: 使对应的核空间维数不再增加的最小次数

欧式空间#

• 内积: (1) 对称 (2) 线性 (3) 正定 (与自己的内积)

• Gram 矩阵

  $$G = \begin{pmatrix} \langle \alpha_1, \alpha_1 \rangle & \langle \alpha_1, \alpha_2 \rangle & \cdots & \langle \alpha_1, \alpha_n \rangle \\ \langle \alpha_2, \alpha_1 \rangle & \langle \alpha_2, \alpha_2 \rangle & \cdots & \langle \alpha_2, \alpha_n \rangle \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \langle \alpha_n, \alpha_1 \rangle & \langle \alpha_n, \alpha_2 \rangle & \cdots & \langle \alpha_n, \alpha_n \rangle \end{pmatrix} = (\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n)^T \cdot (\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n)$$

• 度量矩阵
  取 $V$ 的一组基, 其 Gram 矩阵为度量矩阵

  • 度量矩阵正定

• 利用度量矩阵计算内积

  $$\langle \alpha, \beta \rangle = \alpha^T G \beta$$

• 欧式空间上的同构: 保持内积的线性同构

正交#

• 正交矩阵: 由一组正交标准基构成的矩阵, $A A^T = I$

正交变换: 保持内积的线性变换#

$\Leftrightarrow$ 保持长度
$\Leftrightarrow$ 保持某组一组正交标准基
$\Leftrightarrow$ 在某组一组正交标准基下, 其矩阵为正交矩阵

• 第一类正交变换: $det(A) = 1$
• 第二类正交变换: $det(A) = -1$

正交补#

$$V^\perp = \{\alpha \in V | \forall v \in V, \langle \alpha, v \rangle = 0\}$$

• 求解正交补: 将 $V$ 的一组基 $\{\alpha_1, \ldots, \alpha_n\}$ 代入内积定义, 求解线性方程组, 可以得到 $V^\perp$ 的一组基, 将其单位化便是 $V^\perp$ 的标准正交基

实对称矩阵的标准形#

若 $A$ 是实对称矩阵, $\mathcal{A}$为对应的线性变换, 则

1. A 的特征值都是实数
2. 互异特征值的特征向量正交
3. 存在正交矩阵 $C$, 使得 $C^{-1}AC = C^TAC$ 是对角矩阵
4. 存在 $V$ 的一组正交标准基, 使得 $\mathcal{A}$ 在该基下的矩阵为对角矩阵

使用正交矩阵对实对称矩阵进行对角化#

• 求解特征值
• 求解特征向量
• 将特征向量正交单位化
• 令 $C = (\alpha_{11}, \alpha_{12}, \ldots, \alpha_{1r_1}, \ldots \alpha_{kr_k})$, 则 $C^{-1}AC = C^TAC$ 是对角矩阵

实对称矩阵的正交对角化方法#

• 将待变换矩阵 (A) 写在一条横线上方，单位阵 (I) 写在横线下方。
• 横线下方矩阵作列变换，上方矩阵作相同列变换，再作对应行变换（下方矩阵2,3列互换，则上方矩阵2,3列互换，再2,3行互换）。
• 设横线上方矩阵 (A) 变成对角阵 (B) 时，横线下方的 (I) 变成矩阵 (C)，
• 一定有 (C^TAC = B)。

二次型#

• 二次型: 数域 $\mathbb{F}$ 上的二次齐次多项式函数

• 二次型的矩阵表示:
  将对应的对称表示矩阵记为 $A$, 则二次型 $f$ 表示为

  $$f = x^T A x = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij} x_i x_j$$

• 可逆线性替换: 记可逆矩阵 $C$, 则称 $X = CY$ 为可逆线性变换

• 标准形: 只含平方项的二次型

  • 将二次型化为标准型的方式: 若有平方项, 进行配方, 否则先进行一次中值换元, 再进行配方

二次型规范形:#

• 实二次型规范形: 平方项系数为 $1$ 的标准形
• 复二次型规范形: 平方项系数为 $\pm 1$ 的标准形

合同#

若存在可逆矩阵 $C$, 使得 $C^T A C = B$, 则称 $A$ 和 $B$ 合同

• 自反性: $A$ 合同于 $A$

• 对称性: $A$ 合同于 $B$ 当且仅当 $B$ 合同于 $A$

• 传递性: $A$ 合同于 $B$, $B$ 合同于 $C$ $\Rightarrow$ $A$ 合同于 $C$

• 相似 $\Rightarrow$ 合同 $\Rightarrow$ 相抵

• 欧式空间在不同基下的度量矩阵合同

• 合同 $\Leftrightarrow$ 有相同的正特征值个数, 负特征值个数, 零特征值个数

• 正定二次型: 值恒大于 $0$ 的二次型

正定矩阵: 正定二次型的矩阵表示#

• 对于正定矩阵 $A$, 存在唯一的实对称矩阵 $B$, 使得 $B^2 = A$

• 正定矩阵的乘积不一定是正定矩阵, 因为可能不再对称

• 正定 $\Leftrightarrow$ 与 $I$ 合同 $\Leftrightarrow$ 存在正交矩阵 $C$, 使得 $C^T A C = D$, 其中 $D$ 是对角矩阵, 且对角线上的元素均为正数 $\Leftrightarrow$ 顺序主子式均大于 $0$

• 可逆实对称矩阵 $\Leftrightarrow$ 存在实矩阵 $C$, 使得 $AC + C^TA$ 为正定矩阵

可逆, 秩相关条件考虑等价为方程的解

双线性函数: 固定任一个变量时都是另一个变量的线性函数#

• 左线性映射: 固定右变量时是左变量的线性映射
• 右线性映射: 固定左变量时是右变量的线性映射
• 非退化 $\Leftrightarrow$ 其在某组基下的度量矩阵表示可逆
• 对称双线性函数在某组基下的度量矩阵表示为对角阵
• 令 $A=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$，反对称双线性函数在某组基下的度量矩阵表示为 $$\begin{pmatrix} A & 0 & & \\ 0 & A & & \\ & & \ddots & \\ & & & 0 \end{pmatrix}$$

$\lambda$ 矩阵#

• 半单: 可对角化的复方阵

• 幂零指数为 $m$ $\rightarrow$ $A$ 的最小多项式为 $\lambda^m$

$\lambda$ 矩阵#

• $\lambda$ 矩阵: 所有元素为关于 $\lambda$ 的多项式的矩阵

$\lambda$ 矩阵的相抵标准形#

任一 $A(\lambda)$ 必可经 $\lambda$-初等变换相抵于如下形状的矩阵：

$$D(\lambda)=\begin{pmatrix} d_1(\lambda) & & & & \\ & d_2(\lambda) & & & O \\ & & \ddots & & \\ & & & d_r(\lambda) & \\ & O & & & O \end{pmatrix}$$

其中 $d_i(\lambda)$ 都是首 1 多项式，且 $d_i(\lambda) \mid d_j(\lambda)$ 对所有的 $1 \leq i \leq j \leq r, r = R(A(\lambda))$ > $D(\lambda)$ 称为 $\lambda$-矩阵 $A(\lambda)$ 的相抵标准形。

• 矩阵 $A$, $B$ 相似 $\Leftrightarrow$ $\lambda I - A$ 和 $\lambda I - B$ 相抵

$Frobenius$ 块#

设 $A$ 是有限维线性空间 $V$ 上的线性变换，$V$ 上非零向量 $\alpha$ 生成一个循环不变 $A$-子空间 $I(\alpha)$，设 $A|_{I(\alpha)}$ 的最小多项式为 $f(\lambda) = \lambda^r + a_{r-1}\lambda^{r-1} + \cdots + a_1\lambda + a_0$

则：

1. $\alpha, A\alpha, \cdots, A^{r-1}\alpha$ 是 $I(\alpha)$ 的一组基；
2. $A|_{I(\alpha)}$ 在基 $\alpha, A\alpha, \cdots, A^{r-1}\alpha$ 下的矩阵为 $$A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & -a_0 \\ 1 & 0 & \cdots & 0 & -a_1 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & -a_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & -a_{r-1} \end{pmatrix}$$

$A$ 的 $1, 2, \cdots, r-1$ 阶行列式因子为 1。

$A|_{I(\alpha)}$ 的最小多项式 = $A|_{I(\alpha)}$ 的特征多项式 = $A$ 的 $r$ 阶行列式因子

$A$ 的最小多项式 = $A$ 的特征多项式 = $A$ 的 $r$ 阶行列式因子 = $f(\lambda)$

$Frobenius$ 标准形 / 有理标准形#

定理2. 设 $A \in F^{n \times n}$ 的不变因子组为 $1, \cdots, 1, d_1(\lambda), \cdots, d_k(\lambda)$，其中

$d_i(\lambda) = \lambda^{r_i} + c_{i,r_i-1}\lambda^{r_i-1} + \cdots + c_{i,1}\lambda + c_0 \text{ 是 } r_i \text{ 次多项式}$ 则

$A$ 相似于分块对角阵 $F = \begin{pmatrix} F_1 & & \\ & \ddots & \\ & & F_k \end{pmatrix}$, 其中 $F_i = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & -c_{i,0} \\ 1 & 0 & \cdots & 0 & -c_{i,1} \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & -c_{i,2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & -c_{i,r_i-1} \end{pmatrix}$.
这样的 $F$ 称为 $A$ 的 $Frobenius$ 标准形 / 有理标准形。

初等因子#

设 $A$ 的相抵标准形为 $\text{diag}(1, \cdots 1, d_1(\lambda), \cdots, d_r(\lambda))$

将 $A$ 的不变因子均分解为首 $1$ 不可约多项式之乘积：

$d_1(\lambda) = (\lambda - \lambda_1)^{e_{11}} (\lambda - \lambda_2)^{e_{12}} \cdots (\lambda - \lambda_t)^{e_{1t}}$

$d_2(\lambda) = (\lambda - \lambda_1)^{e_{21}} (\lambda - \lambda_2)^{e_{22}} \cdots (\lambda - \lambda_t)^{e_{2t}}$

$\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots$

$d_r(\lambda) = (\lambda - \lambda_1)^{e_{r1}} (\lambda - \lambda_2)^{e_{r2}} \cdots (\lambda - \lambda_t)^{e_{rt}}$

$(\lambda - \lambda_j)^{e_{ij}} (e_{ij} > 0)$ 称为 $A$ 的初等因子

• $A$ 的初等因子组：$A$ 的全体初等因子所成集合

• $A$ 与 $B$ 在 $F$ 上相似 $\Leftrightarrow$ $A$ 与 $B$ 有相同的初等因子组。

$Jordan$ 标准形#

• $r$ 阶 $Jordan$ 块 $J_{a,r}$ 的初等因子组为 $(\lambda - a)^r$。

已知不变因子组求解标准型#

例1. 已知 $A$ 的不变因子组为 $1, 1, 1, 1, \lambda - 1, (\lambda - 1)^2, (\lambda - 1)^2 (\lambda - 2)^2$，

求 $A$ 的 $Jordan$ 标准形。

解： $A$ 的初等因子组为：$\lambda - 1, (\lambda - 1)^2, (\lambda - 1)^2, (\lambda - 2)^2$

因此其 $Jordan$ 标准形为：

$$\begin{pmatrix} 1 & & & & & & \\ & 1 & 1 & & & & \\ & & 1 & & & & \\ & & & 1 & 1 & & \\ & & & & 1 & & \\ & & & & & 2 & 1 \\ & & & & & & 2 \end{pmatrix}$$

使用可逆矩阵将矩阵化为 $Jordan$ 标准形#

1. 求解特征值
2. 求解最小多项式, 画出 $Jordan$ 标准形
3. 对于每个特征值, 求解对应的特征向量
4. 获得一个对应的特征向量链, 以下方三个式子为例 $$(A - 4I)v_3 = v_2$$ $$(A - 4I)v_2 = v_1$$ $$(A - 4I)v_1 = 0$$
5. 排列各个特征值对应的特征向量链, 得到所求可逆矩阵